Petenis berusia 20 tahun itu memberikan tekanan dan mengeluarkan permainan terbaik untuk menjinakkan Paul.
Unggulan teratas itu bangkit dari kekalahan set kedua yang direbut Paul ketika mendominasi tiebrek untuk menyamakan kedudukan.
Jeda hujan yang membuat pertandingan menjalani skenario stop-start alias berhenti dan mulai kembali, membuat Alcaraz frustrasi. Para petenis harus melakukan pemanasan lagi untuk memulai pertandingan.
"Start dan stop tidak mudah. Saya menangani dengan baik," ujar Alcaraz.
"Saya senang dengan level saya dan senang berada di perempat final. Saya merasa permainan saya menjadi semakin baik."
Sementara itu, Alexander Zverev memenangi pertarungan atas unggulan ketiga Daniil Medvedev 6-4, 5-7, 6-4.
Unggulan ke-16 dari Jerman yang absen pada paruh kedua musim lalu karena cedera pergelangan kaki yang serius itu memenangi pertandingan Cincinnati kedelapan berturut-turut sejak perebutan gelar 2021.
"Tahun lalu adalah masa yang sulit. Saya tidak bisa berjalan dan tidak bisa bermain," kata Zverev, juara lapangan tanah liat Hamburg baru-baru ini.
"Saat-saat seperti inilah yang membuat semuanya begitu istimewa."
Di pertandingan lainnya, unggulan keempat Stefanos Tsitsipas juga kalah 3-6, 4-6 dari petenis Polandia Hubert Hurkacz.